Multiplicative Dirac structures on Lie groups

We study multiplicative Dirac structures on Lie groups. We show that the characteristic foliation of a multiplicative Dirac structure is given by the cosets of a normal Lie subgroup and, whenever this subgroup is closed, the leaf space inherits the structure of a Poisson-Lie group. We also describe multiplicative Dirac structures on Lie groups infinitesimally. Résumé Nous étudions les structures de Dirac multiplicatives sur les groupes de Lie. On montre que le feuilletage caractéristique d’une structure de Dirac multiplicative est donnée par les classes à gauche (respectivement à droite) d’un sous-groupe distingué et, quand ce sous-groupe est fermé, l’espace des feuilles est muni d’une structure de groupe de Lie-Poisson. Nous décrivons aussi la version infinitésimale des structures de Dirac multiplicatives sur les groupes de Lie. Version française abrégée Un groupe de Lie-Poisson est un objet du type groupe de Lie dans la catégorie des variétés de Poisson, c’est-à-dire un groupe de Lie G muni d’une structure de Poisson π ∈ Γ( ∧2 TG) telle que la multiplication m : G × G −→ G soit une application de Poisson, le produit G × G étant muni de la structure de Poisson produit. De manière équivalente, le tenseur de Poisson satisfait la condition multiplicative πgh = (Lg)∗πh + (Rh)∗πg. Les groupes de Lie-Poisson ont été introduits par Drinfeld ([4]). Ces structures apparaissent aussi dans l’etude des propriétés Hamiltonnienes des transformations d’habillage de certain systèmes intégrables([7]). La donnée infinitésimale associée à un groupe de Lie-Poisson G est son algèbre de Lie g accompagnée d’une structure supplémentaire: l’espace dual g hérite d’une structure d’algèbre de Lie, satisfaisant une condition de compatibilité avec le crochet de Lie sur g (cf. par exemple [4, 5]). Une telle paire d’algèbres de Lie (g, g) s’appelle une bialgèbre de Lie. Réciproquement, toute bialgèbre de Lie (g, g) est la bialgèbre de Lie d’un groupe de Lie-Poisson G connexe et simplement connexe ([4]). Une structure de Poisson peut être vue comme un cas particulier d’une structure géométrique plus générale: la structure de Dirac. La notion de structure de Dirac a été introduite par Courant et Weinstein dans le cadre des systèmes méchaniques ([2, 3]). Les structures de Dirac incluent les ∗This research was supported by Capes-Brazil via a PEC-PG scholarship.